Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+2的圖象與直線y=x+a恰好有一個交點(diǎn)，設(shè)g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax，當(dāng)x∈[1，2]時，不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-e+$\frac{3}{2}$]
• B． [-e+$\frac{3}{2}$，e]
• C． [-e，e]
• D． [e，+∞）

Answer 1

分析 用導(dǎo)數(shù)求出曲線上某點(diǎn)切線方程，即可得到a的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-aX，當(dāng)x∈[1，2]時的最值，再根據(jù)不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，求的m的范

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lnx+2的圖象與直線y=x+a恰好有一個交點(diǎn)，
∴直線y=x+a與f（x）=lnx+2相切，
設(shè)曲線的切點(diǎn)為P（x₀，y₀），
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$=1，
∴x₀=1，
∴y₀=lnx₀+2=2，
∴1+a=2，
∴a=1，
∴g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x，
∴g′（x）=e^x-x-1，x∈[1，2]
設(shè)h（x）=e^x-x-1，x∈[1，2]
∴h′（x）=e^x-1＞0在[1，2]恒成立，
∴h（x）=e^x-x-1，x∈[1，2]為增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（1）=e-2＞0，
∴g′（x）＞0在[1，2]恒成立，
∴g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x在[1，2]為增函數(shù)，
∴g（1）≤g（x）≤g（2），
即e$-\frac{3}{2}$≤g（x）≤e²-4，
∵當(dāng)x∈[1，2]時，不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m≤e-\frac{3}{2}}\\{{m}^{2}-4≥{e}^{2}-4}\end{array}\right.$
解得m≥e，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的集合意義，以及恒成立的問題，屬于中檔題