Question

已知函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若對(duì)任意均有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間（1，4）內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間[1，4]外，求a的取值范圍；
（3）已知，且函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

（1）（2）（3）函數(shù)在R上是減函數(shù)

試題分析：（1）
把的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題.
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240421302841381.png" style="vertical-align:middle;" />，由題設(shè)可知有兩個(gè)兩點(diǎn)，其中一個(gè)在，一個(gè)在外，解這個(gè)不等式，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
（3）
由函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù),所以,得到與的關(guān)系,然后由此關(guān)系推出.
試題解析：
解：（1），
令g(x)="0," 有e^x－1=0，即x=0；或 x²－2x－a=0；,
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn) ；  1分
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；2分
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；3分
④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)：
   4分
（2），5分
設(shè)，的圖像是開口向下的拋物線，
由題意對(duì)任意有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
且則對(duì)任意,
即,有，7分
又任意關(guān)于遞增, ,
故，所以.
所以的取值范圍是  9分
（3）由(2)知, 存在，又函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù), 10分
對(duì)來說
即 11分  
所以對(duì)于函數(shù)來說
由知 12分
即對(duì)任意
故函數(shù)在R上是減函數(shù).   13分