Question

已知函數(shù)f（x）=tx-t-lnx（t＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，證明：

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞lnn．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，得f′(x)=t-

1

x

≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)t后化為函數(shù)最值解決；
（Ⅱ）由（I）可知當(dāng)t=1，x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=0，從而可得x-1≥lnx（當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立），可證x∈（0，1]時(shí)，也有x-1≥lnx在（0，1]恒成立，從而有x∈（0，+∞）時(shí)，x-1≥lnx…①恒成立，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立），用x代替x-1，得x≥ln（x+1）…②恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立），則k≥2時(shí)，k∈N^*，由①得k-1＞lnk，即

1

lnk

＞

1

k-1

，由②得

1

k-1

＞ln(1+

1

k-1

)．進(jìn)而可得當(dāng)k≥2，k∈N^*時(shí)，

1

lnk

＞ln(1+

1

k-1

)，即

1

lnk

＞lnk-ln(k-1)．令k=2，3，…n，然后把各式累加可得結(jié)論；

解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=tx-t-lnx的定義域?yàn)椋?，+∞）．
∵f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′(x)=t-

1

x

≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，即t≥

1

x

在x∈[1，+∞）上恒成立，
∵

1

x

≤1，∴t≥1，
∴t的取值范圍為[1，+∞）．
（Ⅱ）由（I）當(dāng)t=1，x≥1時(shí)，f（x）≥f（1），又f（1）=0，
∴x-1-lnx≥0（當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立），即x-1≥lnx．
又當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，設(shè)g（x）=x-1-lnx，
則g′(x)=

x-1

x

≤0，∴g（x）在（0，1]上遞減，
∴g（x）≥g（1）=0，即x-1≥lnx在（0，1]恒成立，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，x-1≥lnx…①恒成立，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立），
用x代替x-1，則x≥ln（x+1）…②恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立），
∴當(dāng)k≥2時(shí)，k∈N^*，由①得k-1＞lnk，即

1

lnk

＞

1

k-1

，
當(dāng)k≥2時(shí)，k∈N^*，

1

k-1

＞0，由②得

1

k-1

＞ln(1+

1

k-1

)．
∴當(dāng)k≥2，k∈N^*時(shí)，

1

lnk

＞ln(1+

1

k-1

)，即

1

lnk

＞lnk-ln(k-1)．
∴

1

ln2

＞ln2-ln1，

1

ln3

＞ln3-ln2，

1

ln4

＞ln4-ln3，…

1

lnn

＞lnn-ln(n-1)．
∴

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞lnn．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值及不等式證明問(wèn)題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．