Question

拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)與橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)相同．設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，C₁，C₂在第一象限的交點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OAB的面積為

6

3

a．
（1）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過A點(diǎn)作直線l交C₁于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD分別交C₂于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，記△OEF，△OCD的面積分別為S₁，S₂．問是否存在上述直線l使得S₂=3S₁，若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件求出a²=1+b²，yB=

6

3

，從而得到B(

2

3

，

2 6

3

)．再由B點(diǎn)在橢圓上，能求出橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，由

x=my+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知條件推導(dǎo)出(

S2

S1

)2=

y 2 1 • y 2 2

y 2 E • y 2 F

=

121+48m2

32

，由48m²=-40，得到不存在直線l使得S₂=3S₁．

解答： 解：（1）∵y²=4x，∴焦點(diǎn)F（1，0），
∴c=1，即a²=1+b²…（1分）
又∵S△OAB=

1

2

×|OA|×yB=

6

3

a，∴yB=

2 6

3

…（2分）
代入拋物線方程得B(

2

3

，

2 6

3

)．
又B點(diǎn)在橢圓上，解得b²=3，a²=4，
∴橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，
由

x=my+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8…（6分）
又∵

S2

S1

=

1 2 |OC||OD|sin∠COD

1 2 |OE||OF|sin∠EOF

=

|OC||OD|

|OE||OF|

=|

y1

yE

|×|

y2

yF

|，
直線OC的斜率為

y1

x1

=

4

y1

，
∴直線OC的方程為x=

y1y

4

，
由

x= y1y 4 x2 4 + y2 3 =1

，得

y

2 E

=

3×64

3y12+64

，
同理

y

2 F

=

3×64

3y22+64

，
∴

y

2 E

y

2 F

=(

3×64

3y12+64

)×(

3×64

3y22+64

)=

64×32

121+48m2

，
則(

S2

S1

)2=

y 2 1 • y 2 2

y 2 E • y 2 F

=

121+48m2

32

，…（10分）
∴

121+48m2

32

=9，
∴48m²=-40，不成立．
故不存在直線l使得S₂=3S₁…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．