Question

已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)P（1，

2 3

3

）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F₁的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)△F₂AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求其最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由|PF₁|+|PF₂|=2a，利用已知條件能求出a²=3，b²=2，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l：y=k（x+1），由

x2 3 + y2 2 =1 y=k(x+1)

，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出S△ABF1＜

4

3

．當(dāng)k不存在時(shí)圓面積最大，此時(shí)直線方程為x=-1．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵|PF₁|+|PF₂|=

(1+1)2+( 2 3 3 )2

+

(1-1)2+( 2 3 3 )2

=2

3

=2a，
∴a²=3，b²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x+1），
由

x2 3 + y2 2 =1 y=k(x+1)

，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1x2=

3k2-6

2+3k2

，x1+x2=

-6k2

2+3k2

．…（6分）
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3(k2+1)

2+3k2

，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，∵△ABF₂的周長(zhǎng)為4a=4

3

（定值），
S△ABF1=

1

2

×4a×r=2

3

r，
∴當(dāng)△ABF₂的面積最大時(shí)，內(nèi)切圓面積最大，
又S∉ABF1=

1

2

|F1F2||y1-y2|=|y₁-y₂|
=|k||x₁-x₂|=

4 3k2(k2+1)

2+3k2

，…（8分）
令t=2+3k²≥2，則k²=

t-2

3

，
∴S△ABF1=

4 3k2(k2+1)

2+3k2

=4

(t-2)(t+1) 3t2

=

4

3

- 2 t2 - 1 t +1

＜

4

3

．…（10分）
又當(dāng)k不存在時(shí)，|y₁-y₂|=

4

3

，
此時(shí)r=

S

2 3

=

2

3

，S_圓=

4

9

π，
∴當(dāng)k不存在時(shí)圓面積最大，S_圓=

4

9

π，
此時(shí)直線方程為x=-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形內(nèi)切圓面積是否存在最大值的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理和分類討論思想的合理運(yùn)用．