已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)P（1，
2
3
3
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，問△F2AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求其最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0），由|PF1|+|PF2|=2a，利用已知條件能求出a2=3，b2=2，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l：y=k（x+1），由
x2
3
+
y2
2
=1
y=k(x+1)
，得（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出S△ABF1＜
4
3
．當(dāng)k不存在時(shí)圓面積最大，此時(shí)直線方程為x=-1．
解答： 解：（Ⅰ）由已知，可設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0），
∵|PF1|+|PF2|=
(1+1)2+(
2
3
3
)2
+
(1-1)2+(
2
3
3
)2
=2
3
=2a，
∴a2=3，b2=2，
∴橢圓C的方程為
x2
3
+
y2
2
=1．…（4分）
（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x+1），
由
x2
3
+
y2
2
=1
y=k(x+1)
，得（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2=
3k2-6
2+3k2
，x1+x2=
-6k2
2+3k2
．…（6分）
所以|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
3(k2+1)
2+3k2
，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，∵△ABF2的周長為4a=4
3
（定值），
S△ABF1=
1
2
×4a×r=2
3
r，
∴當(dāng)△ABF2的面積最大時(shí)，內(nèi)切圓面積最大，
又S∉ABF1=
1
2
|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|
=|k||x1-x2|=
4
3k2(k2+1)
2+3k2
，…（8分）
令t=2+3k2≥2，則k2=
t-2
3
，
∴S△ABF1=
4
3k2(k2+1)
2+3k2
=4
(t-2)(t+1)
3t2

=
4
3
-
2
t2
-
1
t
+1
＜
4
3
．…（10分）
又當(dāng)k不存在時(shí)，|y1-y2|=
4
3
，
此時(shí)r=
S
2
3
=
2
3
，S圓=
4
9
π，
∴當(dāng)k不存在時(shí)圓面積最大，S圓=
4
9
π，
此時(shí)直線方程為x=-1．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形內(nèi)切圓面積是否存在最大值的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理和分類討論思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a=
∫
π
3
0
sinxdx，則(x+
1
ax
)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)數(shù)a，b滿足：-1＜a-b＜3且2＜a+b＜4，則2a-3b的取值范圍是（　�。�
A、(-
13
2
 ，
17
2
)
B、(-
3
2
 ，
11
2
)
C、(-
9
2
 ，
13
2
)
D、(-
7
2
 ，
13
2
)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法：①2013年考入清華大學(xué)的性格外向的學(xué)生能組成一個(gè)集合；②空集∅⊆{0}；③數(shù)集{2x，x2-x}中，實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|x≠0}．其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、3B、2C、1D、0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四邊形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y=x2上，A、C點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，BD平行于拋物線在點(diǎn)C處的切線．
（1）證明：AC平分∠BAD．
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，1），S四邊形ABCD=4，求直線BD的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A（2，0），點(diǎn)P（2e，
1
2
）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足
OC
=λ
BA
，且
OC
•
OB
=0，求實(shí)數(shù)λ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=tx-t-lnx（t＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，證明：
1
ln2
+
1
ln3
…+
1
lnn
＞lnn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點(diǎn)F（1，0），C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線l與拋物線C2分別相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓過原點(diǎn)；
（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1相切，求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距為3
2
，其中一條漸近線的方程為x-
2
y=0．以雙曲線C的實(shí)軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過原點(diǎn)O的動(dòng)直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為橢圓的左頂點(diǎn)，
PG
=2
GO
，求|
GA
|2+|
GB
|2的取值范圍；
（Ⅲ）若點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|，求證
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OP|2
為定值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案