Question

在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下面關(guān)于f（x）的判斷：
①f（x）是周期函數(shù) 
②f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；   
⑤f（2）=f（0）．
其中正確判斷的序號(hào)為（ ）
A．①②
B．①②⑤
C．①②③④
D．①②③④⑤

Answer 1

【答案】分析：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x），即可得周期T，可判斷①和⑤；
由f（-x）=f（x），f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），則可求f（x）圖象關(guān)對(duì)稱中心，又f（x）圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱，故x=1也是圖象的一條對(duì)稱軸，故可判斷②；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]和[1，2]上的單調(diào)性，可判斷③和④．
解答：解：由f（x+1）=-f（x），
得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
即可得周期T=2，故①正確
由f（x）為偶函數(shù)可得f（-x）=f（x），
由f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），則f（x）圖象關(guān)于（，0）對(duì)稱，
又f（x）圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱，故x=1也是圖象的一條對(duì)稱軸，故②正確；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單調(diào)遞增，
得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)，故③錯(cuò)，④錯(cuò)；
∵R上的偶函數(shù)f（x）的周期為2，∴f（2）=f（0）．故⑤正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．