記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式an2+
Sn2
n2
≥ma12對(duì)任意等差數(shù)列{an}及任意正整數(shù)n都成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為
 
．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：令
1
2
（n-1）d=m，由an2+
Sn2
n2
=an2+[a1+
1
2
（n-1）d]2=5（m-
3a1
5
）2+2a12-
9a12
5
，當(dāng)m=
3a1
5
時(shí)，取到最小值，由此能求出結(jié)果．
解答： 解：an2+
Sn2
n2
=an2+
1
n2
[na1+
1
2
n（n-1）d]2
=an2+[a1+
1
2
（n-1）d]2
令
1
2
（n-1）d=m，
an2+
Sn2
n2
=（a1+2m）2+（a1+m）2
=2a12+6ma1+5m2
=5（m-
3a1
5
）2+2a12-
9a12
5
，
當(dāng)m=
3a1
5
時(shí)，取到最小值
即
1
2
（n-1）d=
3a1
5
，即n=
6a1
5d
+1，
∵不等式an2+
Sn2
n2
≥ma12對(duì)任意等差數(shù)列{an}及任意正整數(shù)n都成立，
∴m≤
1
5
．
∴實(shí)數(shù)m的最大值為
1
5
．
故答案為：
1
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意配方法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=2，
a
與
b
的夾角為60°，求：
（1）
a
在
b
方向上的投影；
（2）
c
=λ
a
+
b
與
d
=
a
+2
b
的夾角為銳角，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}及fn（x）=a1x+a2x2+…anxn，fn（-1）=（-1）nn，n∈N+．
（1）求a1，a2，a3的值，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若（
1
2
）n•an≤
1
4
m2+
3
2
m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求證：fn（
1
3
）＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x2-2x-3， x≤0
-x2， x＞0
，若f（a）=-4，則a=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

方程sinx=lgx在x∈[0，2π]上根的個(gè)數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正數(shù)x，y的等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)的平方，1構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，那么x+y的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log2（-x2+ax+a），若f（x）＞1對(duì)一切x∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

觀察下列特殊的不等式：
52-22
5-2
≥2•
7
2
          
45-35
42-32
≥
5
2
•（
7
2
）3
98-28
93-23
≥
8
3
•（
11
2
）5 
910-510
95-55
≥2•75
…
由以上特殊不等式，可以猜測(cè)：當(dāng)a＞b＞0，s、r∈Z時(shí)，有
as-bs
ar-br
≥
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若9x2+y2=12，則xy的最大值是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案