Question

方程

1

1-x

=2sinπx（-2≤x≤4）的所有根的和為

 

．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：設(shè) f（x）=

1

1-x

，g（x）=2sinπx，此題是求以上兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)的和的問題．根據(jù)兩個函數(shù)都關(guān)于點（1，0）成中心對稱，數(shù)形結(jié)合求得兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)的和．

解答： 解：設(shè) f（x）=

1

1-x

，g（x）=2sinπx，此題是求以上兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)的和的問題．
顯然，以上兩個函數(shù)都關(guān)于點（1，0）成中心對稱．
作出兩個函數(shù)的圖象如圖當(dāng)1＜x≤4時，y₁＜0
而函數(shù)g（x）在（1，4）上出現(xiàn)1.5個周期的圖象，
在（1，

3

2

）和（

5

2

，

7

2

）上是減函數(shù)；
在（

3

2

，

5

2

）和（

7

2

，4）上是增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）在（1，4）上函數(shù)值為負(fù)數(shù)，且與g（x）的圖象有四個交點E、F、G、H，
相應(yīng)地，f（x）在（-2，1）上函數(shù)值為正數(shù)，且與g（x）的圖象有四個交點A、B、C、D，
且：x_A+x_H=x_B+x_G=x_C+x_F=x_D+x_E=2，
故所求的橫坐標(biāo)之和為8，
故答案為：8．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．