Question

14．某校高一年級(jí)共有320人，為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間（指除了完成老師布置的作業(yè)后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間）情況，學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷得到了這n名學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù)（單位：分鐘），按照以下區(qū)間分為七組：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40，50），⑥[50，60），⑦[60，70），得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學(xué)生中每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間低于20分鐘的人數(shù)是4人．
（1）求n的值；
（2）利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)，中位數(shù)及平均數(shù)
（3）問卷調(diào)查完成后，學(xué)校從第3組和第4組學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生進(jìn)行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況，并從這7人中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人．求第3組中至少有1名學(xué)生被聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人的概率．

Answer 1

分析 （1）由圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，則n×（0.02+0.06）=4，由此能求出n．
（2）利用頻率分布直方圖，即可估計(jì)眾數(shù)，中位數(shù)及計(jì)算各個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以對(duì)應(yīng)小矩形的面積之和，可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）第3組和第4組的頻數(shù)分別是15和20，用分層抽樣的方法抽取7人，則第3組應(yīng)抽$7×\frac{15}{15+20}$=3（人），第4組應(yīng)抽7×$\frac{20}{15+20}$=4（人），確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求第3組中至少有1名學(xué)生被聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人的概率．

解答 解：（1）由圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，
則n×（0.02+0.06）=4，解得n=50，
（2）眾數(shù)：35  中位數(shù)：33 
平均數(shù)：由頻率分布直方圖得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（5×0.002+15×0.006+25×0.03+35×0.04+45×0.012+55×0.008+65×0.002）×10=33.6；
（3）第3組和第4組的頻數(shù)分別是15和20，用分層抽樣的方法抽取7人，則第3組應(yīng)抽$7×\frac{15}{15+20}$=3（人），第4組應(yīng)抽7×$\frac{20}{15+20}$=4（人）．
設(shè)第3組中被抽到的3名學(xué)生分別是甲、乙、丙，第4組被抽到的4名學(xué)生分別是a、b、c、d，則從7人中抽取2人的基本事件空間Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（甲，d），（乙，丙），（乙，a），（乙，b），（乙，c），（乙，d）（丙，a）（丙，b），（丙，c），（丙，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共21個(gè)基本事件．
設(shè)事件A為“第3組中至少有1名學(xué)生被選聘”，則事件A共有15個(gè)基本事件，則P（A）=$\frac{15}{21}$=$\frac{5}{7}$
即第3組中至少有1名學(xué)生被選聘的概率是$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了頻率分布直方圖，以及平均數(shù)和古典概型的概率計(jì)算，同時(shí)考查了分析問題的能力和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．