Question

16．在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD與ADEF是邊長均為a的正方形，四邊形ABGH是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH．
（1）求證：平面BCG⊥平面EHG；
（2）若a=4，求四棱錐G-BCEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BH，推導(dǎo)出HG⊥GB，從而CB⊥平面ABGF，進(jìn)而CB⊥HG，由此能證明HG⊥平面BCG，從而平面EHG⊥平面BCG．
（2）過B作AF的平行線交于FG的延長線于點P，連接AP、FB交于點O，過G作GK⊥FB于K，由此能求出四棱錐G-BCEF的體積．

解答 證明：（1）連接BH，由AH=$\frac{3}{4}a$，AB=a，
知：HB=$\sqrt{（\frac{3}{4}a）^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}a$，
HG=$\sqrt{（\frac{1}{4}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}a$，
GB=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
∴HB²=HG²+GB²，從而HG⊥GB，…（3分）
∵DA⊥AF，DA⊥AB，∴DA⊥平面ABGH，
又∵CB∥DA，∴CB⊥平面ABGF，
∴CB⊥HG，∴HG⊥平面BCG，
∵HG⊥平面EHG，∴平面EHG⊥平面BCG．…（6分）
解：（2）過B作AF的平行線交于FG的延長線于點P，
連接AP、FB交于點O，
過G作GK⊥FB于K，
則GK=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，…（8分）
∴四邊形BCEF的面積S=4×$4\sqrt{2}=16$，…（10分）
故V_G-BCEF=$\frac{1}{3}×16\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{32}{3}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．