Question

已知ω＞0，

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx）且f（x）=m•n+

1

2

的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且a=

19

，c=3，又cosA恰是f（x）在[

π

12

，

2π

3

]上的最小值，求b及△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）結(jié)合平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，然后，借助于輔助角公式和二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可；
（2）利用余弦定理和三角形的面積公式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．

解答： 解：（1）∵

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），
∴f（x）=m•n+

1

2

=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）
∵f（x）的最小正周期為π．
∵T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）．
∴f（x）的解析式：f（x）=sin（2x-

π

6

）．
（2）∵x∈[

π

12

，

2π

3

]，
∴（2x-

π

6

）∈[0，

7π

6

]．
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
∴f（x）在[

π

12

，

2π

3

]上的最小值-

1

2

，
∴cosA=-

1

2

，
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+6b-10=0，
∴b=

19

-3或b=-

19

-3（舍去），
S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

（

19

-3）×3×

3

2

=

3 51 -9 3

4

，
∴△ABC的面積=

3 51 -9 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，輔助角公式和二倍角公式，余弦定理和三角形的面積公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，考查比較綜合，屬于中檔題．