Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足：sin²（A+C）=

3

sinBcosB，cos﹙C-A﹚=-2cos2A．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）已知函數(shù)f（x）=sinx-

3

cosx（x∈R），求f（A+

π

4

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，根據(jù)所給條件，A+C=π-B，分別利用已知條件，得到A=B=

π

3

，從而得到三角形的形狀．
（2）借助于輔助角公式，利用三角函數(shù)公式和兩角和與差的三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可．

解答： 解：（1）∵A+C=π-B，
∴sin²B=

3

sinBcosB，
∴tanB=

3

，∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

，
∴C=

2π

3

-A，
∵cos﹙C-A﹚=-2cos2A，
∴cos（2A-

2π

3

）=-2cos2A，
∴cos2Acos

2π

3

+sin2Asin

2π

3

=-2cos2A，
∴

3

2

sin2A+

3

2

cos2A=0，
∴

3

sin（2A+

π

3

）=0，
∴2A+

π

3

=π，
∴A=

π

3

，
∴△ABC的形狀為等邊三角形；
（2）∵函數(shù)f（x）=sinx-

3

cosx（x∈R）
=2sin（x-

π

3

），
∴f（A+

π

4

）=2sin（

π

3

+

π

4

-

π

3

）
=2sin

π

4

=

2

∴f（A+

π

4

）的值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)及其恒等變換公式的靈活運(yùn)用，注意三角形中的邊角關(guān)系問題，屬于中檔題．