Question

若曲線f（x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”，下列方程：
①x²-y²=1
②x²-|x-1|-y=0
③xcosx-y=0
④|x|-

4-y2

+1=0
其中所對應的曲線中存在“自公切線”的有（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,新定義,函數的性質及應用

分析：通過畫出函數圖象，觀察其圖象是否滿足在其上圖象上是否存在兩個不同點處的切線重合，從而確定是否存在自公切線，即可得到結論．

解答： 解：①x²-y²=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②x²-|x-1|-y=0，由兩圓相交，可知公切線，滿足題意，故有自公切線；
③y=xcosx 的圖象過（2π，2π ），（4π，4π），圖象在這兩點的切線都是y=x，故此函數有自公切線；
④對于方程|x|-

4-y2

+1=0，其表示的圖形為圖中實線部分，不滿足要求，故不存在．
故選：B．

點評：正確理解新定義“自公切線”，正確畫出函數的圖象、數形結合的思想方法是解題的關鍵．