Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域D，若對任意的x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則稱函數(shù)y=f（x）為“Storm”函數(shù)，那么下列函數(shù)是“Storm”函數(shù)的是（　�。�
①f（x）=x²（x∈[-1，2]）     
②f（x）=x³（x∈[0，1]）
③f（x）=

1

x

（x∈[1，3]）       
④f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]）

• A、①③
• B、③
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|，我們只要求得函數(shù)的最大值和最小值，看差的絕對值是否小于1即可．
①求出f（x）的最大值為4，最小值為0，判斷即可；②求出f（x）的最大值為1，最小值為0，即可判斷；
③求出f（x）的最大值為1，最小值為

1

3

，判斷即可；④用導數(shù)法來求其最大值和最小值即可判斷．

解答： 解：①f（x）=x²（x∈[-1，2]）則f（x）的最大值為4，最小值為0，
則|f（x₁）-f（x₂）|≤4，故①不正確；
②f（x）=x³（x∈[0，1]）則f（x）的最大值為1，最小值為0，
則|f（x₁）-f（x₂）|≤1，故②不正確；
③f（x）=

1

x

（x∈[1，3]）則f（x）的最大值為1，最小值為

1

3

，
則|f（x₁）-f（x₂）|≤

2

3

＜1，故③正確；
④函數(shù)f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R，
導數(shù)是f′（x）=3x²-1，f′（x）=0得x=±

3

3

，
當x=

3

3

時，f（x）=a-

2 3

9

，當x=-

3

3

時，f（x）=a+

2 3

9

，又f（±1）=a，
故f（x）的最大值為a+

2 3

9

，最小值為a-

2 3

9

．
即有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max-f_min|=

4 3

9

＜1，故④正確．
故選：D．

點評：本題是一道新定義題，要理清定義的條件和結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為已知的去解決，主要涉及了恒成立問題，函數(shù)的最值求法等．