Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

x-a

，（其中常數(shù)a＞0）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線在（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在實數(shù)x∈（a，2]使得不等式f（x）≤e²成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出f（0），求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出f′（1），則曲線在（0，f（0））處的切線方程可求；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，把存在實數(shù)x∈（a，2]使不等式
f（x）≤e²成立轉(zhuǎn)化為在（a，2]上f(x)min≤e2成立，然后由a+1≤2和a+1＞2分類求出f（x）的最小值，由最小值小于等于e²求解a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=

ex

x-1

，f′(x)=

ex(x-2)

(x-1)2

，
∴f（0）=-1，f′（0）=-2，
∴曲線在（0，f（0））處的切線方程為：2x+y+1=0；
（Ⅱ）函數(shù)的定義域{x|x≠a}．
由f（x）=

ex

x-a

，得f′(x)=

ex[x-(a+1)]

(x-a)2

，
令f'（x）=0，得x=a+1，
當(dāng)x∈（-∞，a），（a，a+1）時，f′（x）0．
∴f（x）在（-∞，a），（a，a+1）遞減，在（a+1，+∞）遞增．
若存在實數(shù)x∈（a，2]使不等式f（x）≤e²成立，
只需在（a，2]上f(x)min≤e2成立，
①若a+1≤2，即0＜a≤1時，f(x)min=f(a+1)=ea+1≤e2，
∴a+1≤2，即a≤1，
∴0＜a≤1；
②若a+1＞2，即1＜a＜2，f(x)min=f(2)=

e2

2-a

≤e2，
解得a≤1，
又1＜a＜2，
∴a∈∅．
綜上，a的取值范圍是（0，1]．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．