【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣kx+2,k∈R.
(1)若k=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)<2在R+上恒成立,求k的取值范圍;
(3)若x1>0,x2>0,x1+x2<ex1x2 , 求證x1+x2>1.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),

,∴0<x<1,

,∴x>1

故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1,+∞)


(2)解:欲使f(x)<2lnx﹣kx<0<在R+上恒成立,

只需k> 在R+上恒成立

設(shè)g(x)= (x>0),g′(x)= ,

x∈(0,e),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),

x∈(e,+∞),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),

∴x=e時,g(e)= 是最大值,

只需 <k,即k>


(3)解: 由(2)可知g(x)在(0,e)上單調(diào)增,

,即 ,

同理

相加得 ,

,

得:x1+x2>1.


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為k> 在R+上恒成立,設(shè)g(x)= (x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最大值,從而求出k的范圍即可;(3)根號g(x)的單調(diào)性,得到即 , ,相加整理即可.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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①(1+a+a2+a3)(1+b3)(1+c)2
②(1+a3)(1+b+b2+b3)(1+c)2
③(1+a)3(1+b+b2+b3)(1+c2
④(1+a3)(1+b)3(1+c+c2

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