Question

設(shè)a＞0，a_n=n•aⁿ，若{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，可得a_n+1-a_n=（n+1）aⁿ⁺¹-naⁿ＜0，由于a＞0，可得a＜1-

1

n+1

，再利用
{

1

n+1

}的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵a_n=n•aⁿ，∴an+1=(n+1)•an+1，
∵{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=（n+1）aⁿ⁺¹-naⁿ＜0，
∵a＞0，
∴

an+1

an

＜

n

n+1

=1-

1

n+1

，
∴a＜1-

1

n+1

，
∵n≥1，
∴1-

1

n+1

≥

1

2

．
∴a的取值范圍是（0，

1

2

）．
故答案為：（0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．