Question

設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a，b∈P，都有a+b、a-b，ab、

a

b

∈P （除數(shù)b≠0），則稱P是一個(gè)數(shù)域．例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集F={a+b

2

|a，b∈Q}也是數(shù)域．有下列命題：
①數(shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)；
②整數(shù)集是數(shù)域；
③若有理數(shù)集Q⊆M，則數(shù)集M必為數(shù)域；
④數(shù)域必為無限集；
⑤存在無窮多個(gè)數(shù)域．
其中正確的命題的序號(hào)是

 

．（把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)填填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,集合

分析：本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)是新定義概念的理解能力．我們可根據(jù)已知中對(duì)數(shù)域的定義：設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、

a

b

∈P（除數(shù)b≠0）則稱P是一個(gè)數(shù)域，對(duì)四個(gè)命題逐一進(jìn)行判斷即可等到正確的結(jié)果．

解答： 解：①若a，b∈P，由互異性a≠b，不妨設(shè)a≠0，則
a+b，a-b∈P
（a+b）+（a-b）=2a∈P

2a

a

=2∈P

a

a

=1∈P
1-1=0∈P 
數(shù)域必含元素0，1得證，正確，
②1，2∈Z，

1

2

不屬于Z，錯(cuò)誤；
③令M=Q∪{π}，1，π∈M，1+π不屬于M，錯(cuò)誤；
④根據(jù)定義，如果a，b在P中，那么a+b，a+2b，a+3b，…，a+kb，…（k是整數(shù)）都在P中．由于整數(shù)有無窮多個(gè)，故數(shù)域必為無限集，正確．
⑤可以證明，任何一個(gè)形如{a+b

k

，a，b∈Q}（k是素?cái)?shù)）的集合都是數(shù)域，而素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，并且k不同時(shí)集合也不同，故存在無窮多個(gè)數(shù)域，正確．
故答案為：①④⑤

點(diǎn)評(píng)：新定義題要對(duì)定義理解到位，可以從定義中相關(guān)的式子入手．