Question

已知雙曲線：的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)。

(Ⅰ)求雙曲線的方程和其漸近線方程；

(Ⅱ)若直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求所有滿足條件的的取值。

Answer 1

(Ⅰ) ，

(Ⅱ)

【解析】

試題分析：在解第一問的時(shí)候可以根據(jù)雙曲線的定義，得出對(duì)應(yīng)的，再根據(jù)雙曲線中之間的關(guān)系，得出的值，從而得出雙曲線的方程；對(duì)于第二問，涉及到直線與雙曲線的位置關(guān)系，取決于聯(lián)立以后的方程的根的個(gè)數(shù)，注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)的情況不要丟掉，只有一個(gè)公共點(diǎn)包括了相切的時(shí)候和與漸近線平行的時(shí)候.

試題解析：(1)由題意可知：雙曲線的焦點(diǎn)為（-2, 0）和（2,0）

根據(jù)定義有

∴，由以上可知：．∴所求雙曲線C的方程為：． 4分

漸近線方程為： 6分

(2)由得：. 7分

①當(dāng)即時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線相交有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意 8分

② 當(dāng)即時(shí)，由△=0得，

此時(shí)直線與雙曲線相切有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意 11分

綜上所述：符合題意的k的所有取值為。 12分

考點(diǎn)：雙曲線的方程，雙曲線的漸近線方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系.