Question

（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)的最小值為a.

（1）求a；

（2）已知兩個(gè)正數(shù)m，n滿足，求的最小值.

Answer 1

（1）a＝1；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)最值、均值定理等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、運(yùn)算求解能力. 第一問(wèn)，先利用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值符號(hào)，使之轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定最小值的位置，解出a的值；第二問(wèn)，利用第一問(wèn)的結(jié)論，兩次利用均值不等式計(jì)算的最小值.

試題解析：（Ⅰ），

當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)的最小值a＝1． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

所以的最小值為． 10分

考點(diǎn)：分段函數(shù)、函數(shù)最值、均值定理