Question

如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，過(guò)點(diǎn)F₂并垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F₁B|+|F₂B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)滿(mǎn)足條件: |F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數(shù)列.

(1)求該弦橢圓的方程；
(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
(3)設(shè)弦AC的垂直平分線(xiàn)的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

Answer 1

(1)="1" (2)="4" (3) －＜m＜

(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F₁B|+|F₂B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故橢圓方程為=1.
(2)由點(diǎn)B(4,y_B)在橢圓上，得|F₂B|=|y_B|=. 因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F₂A|=(－x₁),|F₂C|=(－x₂)，
由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數(shù)列，得
(－x₁)+(－x₂)=2×,由此得出: x₁+x₂=8.
設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x₀,y₀),則x₀==4.
(3)解法一: 由A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)在橢圓上.
得     
①－②得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)=0,
即9×=0(x₁≠x₂)
將 (k≠0)
代入上式，得9×4+25y₀(－)="0 " (k≠0)
即k=y₀(當(dāng)k=0時(shí)也成立).
由點(diǎn)P(4，y₀)在弦AC的垂直平分線(xiàn)上，得y₀=4k+m,
所以m=y₀－4k=y₀－y₀=－y₀.
由點(diǎn)P(4，y₀)在線(xiàn)段BB′(B′與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng))的內(nèi)部，
得－＜y₀＜,所以－＜m＜.
解法二: 因?yàn)橄?i>AC的中點(diǎn)為P(4,y₀)，所以直線(xiàn)AC的方程為
y－y₀=－(x－4)(k≠0)                                        ③
將③代入橢圓方程=1,得
(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²=0
所以x₁+x₂==8,解得k=y₀. (當(dāng)k=0時(shí)也成立)
(以下同解法一).