【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2.
(I)若f(x)在x=1處有極值10,求a,b的值;
(II)若當(dāng)a=-1時(shí),f(x)<0在x∈[1,2]恒成立,求b的取值范圍
【答案】(I); (II)b<-
【解析】試題分析:(1)首先對(duì)f(x)求導(dǎo),然后由題設(shè)在x=1時(shí)有極值10可得f '(1)=0,f(1)=10,解得即可;
(2)x3-x2+bx+1<0在x∈[1,2]恒成立,即b<在x∈[1,2]恒成立,令g(x)=,即可求出b的取值范圍.
試題解析:
(I)f '(x)=3x2+2ax+b,由題設(shè)有f '(1)=0,f(1)=10
即解得或
經(jīng)驗(yàn)證,若則f '(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2
當(dāng)x>1或x<1時(shí),均有f '(x)>0,可知
此時(shí)x=1不是f(x)的極值點(diǎn),故舍去
符合題意,故.
(II)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x3-x2+bx+l
若f(x)<0在x∈[1,2]恒成立,即
x3-x2+bx+1<0在x∈[1,2]恒成立
即b<在x∈[1,2]恒成立
令g(x)=,則
g '(x)==
(法一:由g '(x)=0解得x=1…)
(法二)由-2x3+x2+1=1-x3+x2(1-x) 可知x∈[1,2]時(shí)g '(x)<0
即g(x)=在x∈[1,2]單調(diào)遞減
(g(x))max=g(2)=-
∴b<-時(shí),f(x)<0在x∈[1,2]恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,平面平面,且四邊形為矩形,四邊形為直角梯形, , , , .
(1)求證: 平面;
(2)求直線與平面所成角的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有6名男醫(yī)生,4名女醫(yī)生.
(1)選3名男醫(yī)生,2名女醫(yī)生,讓這5名醫(yī)生到5個(gè)不同地區(qū)去巡回醫(yī)療,共有多少種不同方法?
(2)把10名醫(yī)生分成兩組,每組5人且每組都要有女醫(yī)生,則有多少種不同分法?若將這兩組醫(yī)生分派到兩地去,并且每組選出正副組長(zhǎng)兩人,又有多少種不同方案?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知棱長(zhǎng)為l的正方體中,E,F(xiàn),M分別是AB、AD、的中點(diǎn),又P、Q分別在線段上,且,設(shè)面面MPQ=,則下列結(jié)論中不成立的是( )
A.面ABCD
B.AC
C.面MEF與面MPQ不垂直
D.當(dāng)x變化時(shí),不是定直線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線l:x+2y=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;
(II)設(shè)函數(shù)F(x)=-x[g(x)+x-2],若F(x)在區(qū)間(m,m+1)(m∈Z)內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn),求m的值;
(III)用max{m,n}表示m,n中的較大者,記函數(shù)h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0). 若函數(shù)h(x)在(0,+∞)上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出四個(gè)命題
(1)若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形;
(2)若sinA=cosB,則△ABC為直角三角形;
(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,則△ABC為鈍角三角形;
(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC為正三角形.
以上正確命題的是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是定義在 上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí), ).
(1)當(dāng)時(shí),求的解析式;
(2)若,試判斷的上單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)是否存在,使得當(dāng)時(shí), 有最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心為原點(diǎn),且與直線 相切.
(1)求圓C的方程;
(2)點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)引圓C的兩條切線, ,切點(diǎn)為, ,求證:直線恒過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)結(jié)論:
(1)如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128,則展開(kāi)式中的系數(shù)是-21;
(2)用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果, 的值越大,說(shuō)明模型的擬合效果越差;
(3)若是上的奇函數(shù),且滿(mǎn)足,則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng);
(4)一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為,得2分的概率為,不得分的概率為,且,已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2,則的最小值為;
其中正確結(jié)論的序號(hào)為__________.
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