Question

12．當a$\frac{17}{16}$時，兩曲線x=-y²+$\frac{5}{4}$和y=-x²+a（a＞0）有切點．

Answer 1

分析 根據題意，曲線可化為y₁=f（x）=$\sqrt{\frac{5}{4}-x}$，y₂=g（x）=-x²+a（a＞0），則f′（x）=-$\frac{1}{2}$•$（\frac{5}{4}-x）^{-\frac{1}{2}}$，g′（x）=-2x，設切點（m，n），則f（m）=g（m），f′（m）=g′（m），即可得出結論．

解答 解：根據題意，曲線可化為y₁=f（x）=$\sqrt{\frac{5}{4}-x}$，y₂=g（x）=-x²+a（a＞0），則
f′（x）=-$\frac{1}{2}$•$（\frac{5}{4}-x）^{-\frac{1}{2}}$，g′（x）=-2x，
設切點（m，n），則f（m）=g（m），f′（m）=g′（m），
解得m=1，n=$\frac{1}{4}$，a=$\frac{17}{16}$，
∴a=$\frac{17}{16}$，兩曲線x=-y²+$\frac{5}{4}$和y=-x²+a（a＞0）有切點．
故答案為：$\frac{17}{16}$．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．