Question

3．如圖所示是三棱錐D-ABC的三視圖，若在三棱錐的直觀圖中，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，則異面直線DO與AB所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖可得AB=AC=2，BD=2，AB⊥AC，BC=2$\sqrt{2}$，AB⊥平面ABC．取AC的中點(diǎn)E，則∠DOE或其補(bǔ)角，即為異面直線DO與AB所成角．△DOE中，由余弦定理求得cos∠DOE 的值，可得結(jié)論．

解答 解：如圖所示：根據(jù)三視圖可得AB=AC=2，BD=2，AB⊥AC，BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AB⊥平面ABC．
取AC的中點(diǎn)E，則由O為BC的中點(diǎn)可得OE=$\frac{1}{2}$AB=1，OE∥AB，∴∠DOE或其補(bǔ)角，即為異面直線DO與AB所成角．
又DO=$\sqrt{{BD}^{2}{+BO}^{2}}$=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，DE=$\sqrt{{BD}^{2}{+BE}^{2}}$=$\sqrt{4+（4+1）}$=3，
△DOE中，由余弦定理可得cos∠DOE=$\frac{{DO}^{2}{+OE}^{2}{-DE}^{2}}{2DO•OE}$=$\frac{6+1-9}{2\sqrt{6}×1}$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴異面直線DO與AB所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何體的三視圖，異面直線所成的角的定義和求法，余弦定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．