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已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且過點（）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設直線l:y=kx+t與圓（1＜R＜2）相切于點A，且l與橢圓E只有一個公共點B.
①求證：；
②當R為何值時，取得最大值？并求出最大值．

(1)；（2）①證明見解析；②時，取得最大值為1．

解析試題分析：(1)橢圓的離心率為，又橢圓過已知點，即，再加上，聯(lián)立可求得；（2）直線與圓及橢圓都相切，因此可以把直線方程與橢圓方程(或圓方程)聯(lián)立方程組，此方程組只有一解，由此可得到題中參數的關系式，當然直線與圓相切，可利用圓心到直線的距離等于圓的半徑來列式，得到的兩個等式中消去參數即可證得①式；而②要求的最大值，可先求出，注意到，因此，這里設，由①中的方程(組)可求得，最終把用表示，，利用不等式知識就可求得最大值.
試題解析：(1)橢圓E的方程為      4分
（2）①因為直線與圓C:相切于A,得,
即①        5分
又因為與橢圓E只有一個公共點B，
由得,且此方程有唯一解.
則即
②由①②,得             8分
②設，由得
由韋達定理,
∵點在橢圓上,∴
∴                 10分
在直角三角形OAB中,

∴            12分
考點：橢圓的標準方程，直線與圓相切，直線與橢圓相切.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定橢圓．稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，其上頂點為已知是邊長為的正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）過點任作一動直線交橢圓于兩點，記．若在線段上取一點，使得，當直線運動時，點在某一定直線上運動，求出該定直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：（a>b>0），過點(0，1)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F兩點．證明：當點P在橢圓C上運動時，恒為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知平面內一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡；
（2）當時，過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，線段的垂直平分線為
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關于直線對稱，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點在拋物線上，直線（，且）與拋物線，相交于、兩點，直線、分別交直線于點、.
（1）求的值；
（2）若，求直線的方程；
（3）試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，直線，是拋物線的焦點。

（1）在拋物線上求一點，使點到直線的距離最�。�
(2)如圖，過點作直線交拋物線于A、B兩點.
①若直線AB的傾斜角為，求弦AB的長度；
②若直線AO、BO分別交直線于兩點,求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，設曲線C1：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C1上的點到原點O的最短距離為．以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓記為C2．
（1）求橢圓C2的標準方程；
（2）設AB是過橢圓C2中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上的點（與O不重合）．
①若MO＝2OA，當點A在橢圓C2上運動時，求點M的軌跡方程；
②若M是l與橢圓C2的交點，求△AMB的面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓 ,若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

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