Question

10．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）＞-f′（x），f（0）=-1，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式e^xf（x）＞-1（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x），（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=e^xf（x），（x∈R），
則g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]，
∵f′（x）＞-f（x），
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
又g（0）=e⁰f（0）=-1，
∵g（x）=e^xf（x）＞-1
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞），
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．