Question

已知點P（1，m）在拋物線C：y²=2Px（P＞0）上，F(xiàn)為焦點，且|PF|=3．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點T（4，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點．
（�。┣�

OA

•

OB

的值；
（ⅱ）若以A為圓心，|AT|為半徑的圓與y軸交于M，N兩點，求△MNF的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由拋物線定義得：|PF|=1+

p

2

=3，由此能求出拋物線C的方程．
（II）（i）依題意設(shè)過點T（4，0）的直線l的方程為x=ty+4，由

y2=8x x=ty+4

，得y²-8ty-32=0，由此利用韋達定理能求出

OA

•

OB

=-16．
（ii）設(shè)A（x₁，y₁），M（0，y_M），N（0，y_N），則y12=8x1，以A為圓心，|AT|為半徑的圓的方程為(x-x1)2+(y-y1)2=(4-x1)2+y12，由此能求出△MNF的面積．

解答： 滿分（12分）．
解：（I）拋物線C：y²=2px（p＞0），
∴焦點F（

p

2

，0）．…（1分）
由拋物線定義得：|PF|=1+

p

2

=3，
解得p=4，
∴拋物線C的方程為y²=8x．…（3分）
（II）（i）依題意可設(shè)過點T（4，0）的直線l的方程為x=ty+4，…（4分）
由

y2=8x x=ty+4

，得y²-8ty-32=0，…（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=8t，y₁y₂=-32，…（6分）
∴x1•x2=

1

8

y12•

1

8

y22=16，…（7分）
∴

OA

•

OB

=x1 x2+y1 y2=16-32=-16．…（8分）
（ii）設(shè)A（x₁，y₁），M（0，y_M），N（0，y_N），則y12=8x1，①
以A為圓心，|AT|為半徑的圓的方程為(x-x1)2+(y-y1)2=(4-x1)2+y12，…（9分）
令x=0，則x1 2+（y-y₁）²=（4-x₁）²+y12，②
把①代入②得（y-y₁）²=16，
∴y=y₁+4或y=y₁-4，
∴|MN|=|y_M-y_N|=8，…（11分）
∴S_△MNF=

1

2

•|MN|•|OF|=

1

2

•8•2=8．…（12分）

點評：本題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；考查運算求解能力、推理論證能力；考查特殊與一般的思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．