12.如圖,已知半圓的直徑AB=2,點C在AB的延長線上,BC=1,點P為半圓上一個動點,以DC為邊作等邊三角形PCD,且點D與圓心分別在PC的兩側,則四邊形OPDC面積的最大值為( 。
A.2B.$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-2C.$\frac{5\sqrt{3}}{4}$D.2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$

分析 首先,可以設∠POB=θ,四邊形面積為y,然后,建立關系式,構造面積關系式,最后利用三角函數(shù)知識求解最值.

解答 解:設∠POB=θ,四邊形面積為y,
則在△POC中,由余弦定理得
PC2=OP2+OC2-2OP•OCcosθ=5-4cosθ.
∴y=S△OPC+S△PCD=$\frac{1}{2}$×1×2sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$(5-4cosθ)
=2sin(θ-$\frac{π}{3}$)+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$,
當θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時,θ=$\frac{5π}{6}$,y有最大值為2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$.
故選:D.

點評 本題重點考查了三角函數(shù)的輔助角公式、三角恒等變換等知識,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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