Question

如圖，已知雙曲線C：

x2

a2

-y²=1（a＞0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過C上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀≠0）的直線l：

x0x

a2

-y₀y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x=

3

2

相交于點(diǎn)N．證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，

丨MF丨

丨NF丨

恒為定值，并求此定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意知，A（c，

c

a

），設(shè)B（t，-

t

a

），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=

3

，從而可得雙曲線C的方程；
（2）易求A（2，

2 3

3

），l的方程為：

x0x

3

-y₀y=1，直線l：

x0x

a2

-y₀y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x=

3

2

相交于點(diǎn)N，可求得M（2，

2x0-3

3y0

），N（

3

2

，

x0-2

2y0

），于是化簡

丨MF丨

丨NF丨

=

| 2x0-3 3y0 |

1 4 +( x0-2 2y0 )2

可得其值為

2 3

3

，于是原結(jié)論得證．

解答： （1）解：依題意知，A（c，

c

a

），設(shè)B（t，-

t

a

），
∵AB⊥OB，BF∥OA，∴

c+t a

c-t

•

-1

a

=-1，

1

a

=

t

a(c-t)

，
整理得：t=

c

2

，a=

3

，
∴雙曲線C的方程為

x2

3

-y²=1；
（2）證明：由（1）知A（2，

2 3

3

），l的方程為：

x0x

3

-y₀y=1，
又F（2，0），直線l：

x0x

a2

-y₀y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x=

3

2

相交于點(diǎn)N．
于是可得M（2，

2x0-3

3y0

），N（

3

2

，

x0-2

2y0

），
∴

丨MF丨

丨NF丨

=

| 2x0-3 3y0 |

1 4 +( x0-2 2y0 )2

=

2|2x0-3|

3 y02+(x0-2)2

=

2|2x0-3|

3 x02 3 -1+(x0-2)2

=

2|2x0-3|

3× |2x0-3| 3

=

2 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，推理論證能力、運(yùn)算求解能力、函數(shù)與方程思想，屬于難題．