Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC=

2

，BB₁=2，AC₁與A₁C交于一點(diǎn)P，延長B₁B到D，使得BD=AB，連接DC，DA，得到如圖所示幾何體．
（Ⅰ）若AB=1，求證：BP∥平面ACD，
（Ⅱ）若直線CA₁與平面BCC₁B₁所成的角為30°，求二面角D-AC-C₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)E，連接PE，DE，證明四邊形DBPE為平行四邊形，從而BP∥平面ACD；
（Ⅱ）軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法解決．空間直角坐標(biāo)系

解答： （Ⅰ）證明：取AC的中點(diǎn)E，連接PE，DE…1分
則PE

∥

.

1

2

CC1，∵BD=AB=1，BB₁=2，∴BD=

1

2

BB₁=

1

2

CC₁，又∵BD∥CC₁，∴BD

∥

.

1

2

CC₁，∴PE

∥

.

BD，∴四邊形DBPE為平行四邊形，∴BP∥DE，…3分
∵BP?面ACD，DE?面ACD，…4分
∴BP∥平面ACD，…5分
（Ⅱ）解：由題意知，AB⊥BC，AB⊥BB₁，∴AB⊥面BC₁，∴A₁B₁⊥面BC₁連接B₁C，則∠A₁CB₁為直線CA₁與平面BCC₁B₁所成的角，則∠A₁CB₁=30°，…6分
在Rt△A₁B₁C中，B₁C=

4+2

=

6

，tanA₁CB₁

A1B1

B1C

=

A1B1

6

=

3

3

．∴A₁B₁=

2

…7分
以B為原點(diǎn)，分別以BC，BB₁，AA₁為x、y、z軸建立如圖所示的
空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，

2

），C（

2

，0，0），D（0，-

2

，0），
∴

AC

=（

2

，0，-

2

），

AD

=（0，-

2

，-

2

），…8分
設(shè)面ACD的法向量為

n1

=（x，y，z），則

2 x- 2 z=0 - 2 y- 2 z=0

即

x=z y=-z

，取z=1，則

n1

=（1，-1，1）…9分
在平面ABC內(nèi)取面AC₁的一個(gè)法向量

n2

=（x，0，z），則

n2

•

AC

=

2

x-

2

z=0，取x=1，則z=1，∴

n2

=（1，0，1）…10分
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

2

3 • 2

=

6

3

，…11分
由圖知二面角D-AC-C₁為鈍角，二面角D-AC-C₁的余弦值為-

6

3

…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，屬于中檔題．