Question

如圖，圓周上有n個固定點(diǎn)，分別為A₁，A₂，…，A_n（n∈N^*，n≥2），在每一個點(diǎn)上分別標(biāo)上1，2，3中的某一個數(shù)字，但相鄰的兩個數(shù)字不相同，記所有的標(biāo)法總數(shù)為a_n．
（1）寫出a₂，a₃，a₄的值；
（2）寫出a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意可得，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想，檢驗(yàn)n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．

解答： 解：（1）計(jì)算得：a₂=6，a₃=6，a₄=18．
（2）猜想a_n=2ⁿ+2（-1）ⁿ．             
證明：①當(dāng)n=2時，a₂=6，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想成立，即a_k=2^k+2（-1）^k．
則當(dāng)n=k+1時，因?yàn)锳₁有3種標(biāo)法，A₂有2種標(biāo)法，A₃有2種標(biāo)法，…A_k有2種標(biāo)法，若A_k+1僅與A_k不同則有2標(biāo)法
一種與A₁數(shù)不相同，符合要求，有A_k+1種；
一種與A₁數(shù)相同，不符合要求，但是相當(dāng)于k個點(diǎn)的標(biāo)法總數(shù)，有A_k種，
則有：3×2^k=a_k+1+a_k．∴a_k+1=-a_k+3×2^k=-2^k-2（-1）^k+3×2^k=2^k+1+2（-1）^k．
即n=k+1時，猜想也成立．
由①②可知，猜想成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時命題也成立，是解題的難點(diǎn)．