Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x-8，g（x）=（x+1）（x-a），（a為常數(shù)）．
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若對(duì)一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)以及一元二次不等式的性質(zhì)即可求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若對(duì)一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，利用基本不等式的性質(zhì)即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵g（x）=（x+1）（x-a），
∴g（x）＜0，即（x+1）（x-a）＜0，
對(duì)應(yīng)方程（x+1）（x-a）=0的根為x=a或x=-1，
若a=-1，則不等式無(wú)解，
若a＞-1，則（x+1）（x-a）＜0的解為-1＜x＜a，
若a＜-1，則（x+1）（x-a）＜0的解為a＜x＜-1，
綜上：當(dāng)a=-1，則不等式的解集為空集，
當(dāng)a＞-1，則不等式的解集為（-1，a），
若a＜-1，則不等式的解集為（a，-1）；
（2）若對(duì)一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，
即x²-4x+7≥（m-1）x，
即m-1≤

x2-4x+7

x

=x+

7

x

-4，
設(shè)h（x）=x+

7

x

-7，則h（x）在（2，

7

）上單調(diào)遞減，在（

7

，+∞）上單調(diào)遞增，
則h（x）的最小值為h（

7

）=

7

+

7

7

-4=2

7

-4，
則m-1≤2

7

-4，
即m≤2

7

-3，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤2

7

-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法以及不等式恒成立問(wèn)題，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．