Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，且AC⊥AB，O，E分別為BC，AB的中點．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=SC=

3

，
（Ⅰ）求證：平面SCB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求三棱錐S-ACD的體積；
（Ⅲ）求二面角S-AC-B的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)SE，由已知得SO⊥BC，SE⊥AB，OE∥AC，從而OE⊥AB，從而AB⊥平面SOE，AB⊥SO，由此能證明平面SBC⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由BC=2

2

，AB=2，∠ABC=45°，得SO=1，OE=1，AC=2．由此能求出三棱錐S-ACD的體積的求法．
（Ⅲ）取AC的中點F，連結(jié)SF、OF，由已知得OF⊥AC，∠SFO即為二面角S-AC-B的平面角，由此能求出二面角S-AC-B的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)SE，∵O、E分別為BC，AB的中點，SA=SB=SC，
∴SO⊥BC，SE⊥AB，OE∥AC．
∵AC⊥AB，∴OE⊥AB．
∵SE⊥AB，AE∩OE=E，∴AB⊥平面SOE，∴AB⊥SO，
∴SO⊥BC，AB∩BC=B，∴SO⊥底面ABCD．
∵SO⊆底面SBC，∴平面SBC⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵SA=SB=SC=

3

，
BC=2

2

，AB=2，∠ABC=45°，
∴SO=1，OE=1，AC=2．
∴V_S-ACD=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

．
（Ⅲ）解：取AC的中點F，連結(jié)SF、OF．
∵SA=SC，SF⊥AC，SF=

2

．
∵O，F(xiàn)分別為BC，AC的中點，∴OF∥AB，OF=

1

2

AB=1，
∵AC⊥AB，∴OF⊥AC，∠SFO即為二面角S-AC-B的平面角．
在Rt△SOF中，SF=

2

，SO=OF=1，∴∠SFO=45°．
∴二面角S-AC-B的大小為45°．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．