Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0的左、右焦點分別為F₁、F₂，以F₁F₂為直徑的圓被直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1截得的弦長為$\sqrt{6}$a，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出圓心到直線的距離，利用以F₁F₂為直徑的圓被直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1截得的弦長為$\sqrt{6}$a，求出a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，圓心到直線的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}}$=$\frac{ab}{c}$，
∵以F₁F₂為直徑的圓被直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1截得的弦長為$\sqrt{6}$a，
∴2$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{6}$a，
∴2（c⁴-a²b²）=3a²c²，
∴2c⁴-2a²（c²-a²）=3a²c²，
∴2e⁴-5e²+2=0，
∵e＞1，
∴e=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 熟練掌握雙曲線的性質(zhì)和圓中弦長的計算、離心率計算公式是解題的關(guān)鍵．