Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，GC=2，求三棱錐B-EFG的高．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用題設(shè)條件推導(dǎo)出BD∥平面EFG，從而得到BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離，作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．

解答： 解：如圖，連接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．
因?yàn)锳BCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EF∥BD，H為AO的中點(diǎn)．
由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，
所以BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．
∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．
∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，
∵HC∩GC=C，∴EF⊥平面HCG．
∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線．
作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，
所以線段OK的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，GC=2，
∴AC=4

2

，HO=

2

，HC=3

2

．
∴在Rt△HCG中，HG=

22

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個(gè)銳角是公共的，
故Rt△HKO∽△HCG．
∴OK=

HO•GC

HG

=

2 ×2

22

=

2 11

11

．
即點(diǎn)B到平面EFG的距離為

2 11

11

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離等有關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．解決此類問題應(yīng)該注意從三維空間向二維平面的轉(zhuǎn)化，從而找到解題的捷徑．