Question

【題目】已知：函數(shù).

（1）此函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，若，恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）3.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出在點(diǎn)處切線的斜率，求出直線的斜率，根據(jù)兩直線平行，得到等式，求出實(shí)數(shù)的值。

（2）方法一：在條件下，先取特殊值滿足不等式，求出的最大值，再證明當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；

方法二：當(dāng)時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，求的最小值大于.通過(guò)二次求導(dǎo)法，求出的最小值的取值范圍，最后求出的最大值。

（1）

點(diǎn)處的切線與直線平行

（2）法一：當(dāng)時(shí)，恒成立，

令，有，

又為正整數(shù)，的最大值不大于.

下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立，

即證當(dāng)時(shí)，恒成立.

令，

則，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

取得極小值.

當(dāng)時(shí)，恒成立.

法二：當(dāng)時(shí)，恒成立，

即對(duì)恒成立.

即的最小值大于.

記，

則，在上連續(xù)遞增，

又，

存在唯一實(shí)根，且滿足：，

由時(shí)，，；

時(shí)，，知；

的最小值為

的最大值為3, 的最大值為3.