【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面, , , , , .
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若點在棱上,且平面,求線段的長.
【答案】(Ⅰ)見解析. (Ⅱ).(Ⅲ).
【解析】試題分析:第一問根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直的結(jié)論,注意在書寫的時候條件不要丟就行;第二問建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量所成角的余弦值來求得二面角的余弦值;第三問利用向量共線的關(guān)系,得出向量的坐標(biāo),根據(jù)線面平行得出向量垂直,利用其數(shù)量積等于零,求得結(jié)果.
(Ⅰ)證明:因為平面⊥平面,
且平面平面,
因為⊥,且平面
所以⊥平面.
因為平面,
所以⊥.
(Ⅱ)解:在△中,因為, , ,
所以,所以⊥.
所以,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
所以, , ,
, ,
, .
易知平面的一個法向量為.
設(shè)平面的一個法向量為,
則, 即,
令,則.
設(shè)二面角的平面角為,可知為銳角,
則,
即二面角的余弦值為.
(Ⅲ)解:因為點在棱,所以, .
因為,
所以, .
又因為平面, 為平面的一個法向量,
所以,即,所以.
所以,所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為nmile/h,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南nmile處的B島出發(fā),朝北偏東30°的方向作勻速直線航行,速度為nmile/h.
(1)若兩船能相遇,求m;
(2)當(dāng)時,兩船出發(fā)2小時后,求兩船之間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來鄭州空氣污染較為嚴重,現(xiàn)隨機抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣中指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如下:
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 4 | 13 | 18 | 30 | 9 | 11 | 15 |
記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失為(單位:元),指數(shù)為.當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟損失;當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時對企業(yè)造成經(jīng)濟損失成直線模型(當(dāng)指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟損失為500元,當(dāng)指數(shù)為200時,造成的經(jīng)濟損失為700元);當(dāng)指數(shù)大于300時造成的經(jīng)濟損失為2000元.
(1)試寫出的表達式;
(2)試估計在本年內(nèi)隨機抽取一天,該天經(jīng)濟損失大于500元且不超過900元的概率;
(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有8天為重度污染,完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)?
附:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.32 | 2.07 | 2.70 | 3.74 | 5.02 | 6.63 | 7.87 | 10.828 |
,其中.
非重度污染 | 重度污染 | 合計 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計 | 100 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展, 年某網(wǎng)購平臺“雙”一天的銷售業(yè)績高達億元人民幣,平臺對每次成功交易都有針對商品和快遞是否滿意的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出次成功交易,并對其評價進行統(tǒng)計,網(wǎng)購者對商品的滿意率為,對快遞的滿意率為,其中對商品和快遞都滿意的交易為次.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并回答能否有的把握認為“網(wǎng)購者對商品滿意與對快遞滿意之間有關(guān)系”?
對快遞滿意 | 對快遞不滿意 | 合計 | |
對商品滿意 | |||
對商品不滿意 | |||
合計 |
(2)為進一步提高購物者的滿意度,平臺按分層抽樣方法從中抽取次交易進行問卷調(diào)查,詳細了解滿意與否的具體原因,并在這次交易中再隨機抽取次進行電話回訪,聽取購物者意見.求電話回訪的次交易至少有一次對商品和快遞都滿意的概率.
附: (其中為樣本容量)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:函數(shù).
(1)此函數(shù)在點處的切線與直線平行,求實數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,若,恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線是中心在原點,焦點在軸上的雙曲線的右支,它的離心率剛好是其對應(yīng)雙曲線的實軸長,且一條漸近線方程是,線段是過曲線右焦點的一條弦,是弦的中點。
(1)求曲線的方程;
(2)求點到軸距離的最小值;
(3)若作出直線,使點在直線上的射影滿足.當(dāng)點在曲線上運動時,求的取值范圍.
(參考公式:若為雙曲線右支上的點,為右焦點,則.(為離心率))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,點與拋物線的焦點關(guān)于原點對稱,過點且斜率為的直線與拋物線交于不同兩點,線段的中點為,直線與拋物線交于兩點.
(Ⅰ)判斷是否存在實數(shù)使得四邊形為平行四邊形.若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(Ⅱ)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,,,點,分別是,的中點.
(1)求證:平面;
(2)若點為棱上一點,且平面平面, 求證:
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