【題目】如圖是一種加熱食物的太陽灶,上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡,鏡的軸截面是拋物線的一部分,盛食物的容器放在拋物線的焦點處,容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐.已知鏡口圓的直徑為8m,鏡深1m.
(1)建立適當?shù)淖鴺讼担髵佄锞的方程和焦點的位置;
(2)若把盛水和食物的容器近似地看作點,試求每根鐵筋的長度.
【答案】(1)標準方程是y2=16x,焦點坐標是F(4,0)(2)5
【解析】
(1)在反光鏡的軸截面內(nèi)建立平面直角坐標系,使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合,x軸垂直于鏡口直徑,根據(jù)點A(1,4)可以求出拋物線的標準方程;(2)由題得A、F兩點間的距離即為每根鐵筋長,求|AF|的長度即可得解.
解:(1)在反光鏡的軸截面內(nèi)建立平面直角坐標系,如圖所示;
使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合,x軸垂直于鏡口直徑;
由已知,得A點坐標是(1,4),
設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),
則16=2p×1,求得p=8;
所以所求拋物線的標準方程是y2=16x,
所以焦點坐標是F(4,0).
(2)盛水的容器在焦點處,所以A、F兩點間的距離即為每根鐵筋長.
計算|AF|=x1+=1+4=5,即每根鐵筋的長度是5m.
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【題目】已知橢圓的離心率為,且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù) (其中, ).
(1)當時,若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(2)當時,是否存在實數(shù),使得當時,不等式恒成立,如果存在,求的取值范圍,如果不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若,函數(shù)的極大值為,求實數(shù)的值;
(2)若對任意的在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為nmile/h,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南nmile處的B島出發(fā),朝北偏東30°的方向作勻速直線航行,速度為nmile/h.
(1)若兩船能相遇,求m;
(2)當時,兩船出發(fā)2小時后,求兩船之間的距離.
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【題目】下列命題中,不正確的是( )
A.在中,若,則
B.在銳角中,不等式恒成立
C.在中,若,,則必是等邊三角形
D.在中,若,則必是等腰三角形
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【題目】已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的右焦點F(1,0),右準線l:x=4.圓C2:x2+y2=b2.A、B為橢圓上不同的兩點,AB中點為M.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)若直線AB過F點,直線OM交l于N點,求證:NF⊥AB;
(3)若直線AB與圓C2相切,求原點O到AB中垂線的最大距離.
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【題目】如圖:已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD是平行四邊形,PA⊥面ABCD,M是AD的中點,N是PC的中點.
(1)求證:MN∥面PAB;
(2)若平面PMC⊥面PAD,求證:CM⊥AD.
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【題目】已知:函數(shù).
(1)此函數(shù)在點處的切線與直線平行,求實數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,若,恒成立,求的最大值.
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