Question

（2013•渭南二模）在等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₇=-23，a₃+a₈=-29．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n+b_n}是首項(xiàng)為1，公比為c的等比數(shù)列，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意 a₃+a₈-（a₂+a₇）=2d=-6，從而d=-3．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由數(shù)列{a_n+b_n}是首項(xiàng)為1，公比為c的等比數(shù)列，得-3n+2+bn=cn-1，所以 bn=3n-2+cn-1．所以 Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+cn-1)=

n(3n-1)

2

+(1+c+c2+…+cn-1)．由此能求出{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d．
依題意 a₃+a₈-（a₂+a₇）=2d=-6，從而d=-3．
所以 a₂+a₇=2a₁+7d=-23，解得 a₁=-1．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為 a_n=-3n+2．
（Ⅱ）解：由數(shù)列{a_n+b_n}是首項(xiàng)為1，公比為c的等比數(shù)列，
得 an+bn=cn-1，即-3n+2+bn=cn-1，
所以 bn=3n-2+cn-1．
所以 Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+cn-1)
=

n(3n-1)

2

+(1+c+c2+…+cn-1)．
從而當(dāng)c=1時(shí)，Sn=

n(3n-1)

2

+n=

3n2+n

2

；
當(dāng)c≠1時(shí)，Sn=

n(3n-1)

2

+

1-cn

1-c

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．