Question

12．設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₁斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求證：|AB|=$\frac{4}{3}$a；
（Ⅱ）求橢圓的離心率；
（Ⅲ）設點P（0，-1）滿足$（{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}）•\overrightarrow{AB}$=0，求E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結合橢圓的定義，即可證得結論；
（Ⅱ）設l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韋達定理可得$\frac{4}{3}$a=$\frac{4^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$•a，可得b=c，再由離心率公式可得； 
（Ⅲ）由（Ⅱ）有b=c，方程（*）可化為3y²-2by-b²=0，根據(jù)$（{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}）•\overrightarrow{AB}$=0，可得|PA|=|PB|，知PM為AB的中垂線，可得k_PM=-1，從而可求b=3，進而可求橢圓C的方程．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由橢圓定義可得，|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，即3|AB|=4a，
則|AB|=$\frac{4}{3}$a．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），l：x=y-c，
代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）
則|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（y₁-y₂）²=2[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=2[（$\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$）²+$\frac{4^{4}}{{a}^{2}+^{2}}$]=$\frac{2×4^{4}}{（{a}^{2}+^{2}）^{2}}$[c²+a²+b²]=$\frac{8^{4}}{（{a}^{2}+^{2}）^{2}}$•2a²，
于是有$\frac{4}{3}$a=$\frac{4^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$•a，
化簡得a=$\sqrt{2}$b，即b=c，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅲ）由$（{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}）•\overrightarrow{AB}$=0，可得（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$）=0，
即有$\overrightarrow{PB}$²=$\overrightarrow{PA}$²，即|PA|=|PB|，
由（Ⅱ）有b=c，方程（*）可化為3y²-2by-b²=0，
設AB中點為M（x₀，y₀），則y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{3}$b，
又M∈l，于是x₀=y₀-c=-$\frac{2}{3}$b，
由|PA|=|PB|，知PM為AB的中垂線，k_PM=-1，
由P（0，-1），得-1=$\frac{\frac{3}+1}{-\frac{2}{3}b}$，解得b=3，a²=18，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題重點考查橢圓的標準方程，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查兩點間的距離公式，解題的關鍵是利用點P（0，-1）在線段AB的垂直平分線上，求得斜率為-1．