Question

20．設函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調性和導數(shù)之間的關系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$（2分）
當a=1時，f（x）=lnx-x-1，
則f（1）=-2，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，則f′（1）=0，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=-2   （6分）
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{-a{x}^{2}+x-（1-a）}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x-1）[ax-（1-a）]}{{x}^{2}}$，f（x）的定義域為（0，+∞），（7分）
當a=0時，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）（8分）
當a≠0時，$\frac{1-a}{a}＞1$，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）的增區(qū)間為（1，$\frac{1-a}{a}$），減區(qū)間為（0，1），（$\frac{1-a}{a}$，+∞）（9分）
當$\frac{1-a}{a}$=1，即a=$\frac{1}{2}$時，f（x）在 （0，+∞）上單調遞減   （10分）
當$\frac{1-a}{a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$或a＜0，
當a＞$\frac{1}{2}$時，f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1-a}{a}$，1），減區(qū)間為（0，$\frac{1-a}{a}$），（1，+∞），（11分）
當a＜0時，f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1-a}{a}$），（1，+∞），減區(qū)間為（$\frac{1-a}{a}$，1）（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)導數(shù)的應用，利用導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．注意要進行分類討論．