Question

2．已知拋物線的方程為y=x²，直線l的方程為2x-y-4=0．P為拋物線上的一個動點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P到直線l的距離最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：
（2）若動點(diǎn)P到x軸的距離為d₁，點(diǎn)P到直線l的距離為d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線y=x²上一點(diǎn)為P（x₀，x₀²），求出點(diǎn)P（x₀，x₀²）到直線2x-y-4=0的距離，利用配方法，由此能求出拋物線y=x²上一點(diǎn)到直線2x-y-4=0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)F作直線x-y+2=0的垂線，此時d₁+d₂最小，根據(jù)拋物線方程求得F，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求得d₁+d₂的最小值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線y=x²上一點(diǎn)P（x₀，x₀²），
點(diǎn)P（x₀，x₀²）到直線2x-y-4=0的距離d=$\frac{|2{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|（x₀-1）²+3|，
∴當(dāng)x₀=1時，即當(dāng)P（1，1）時，
拋物線y=x²上一點(diǎn)到直線2x-y-4=0的距離最短，且為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
（2）y=x²的焦點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$），準(zhǔn)線為y=-$\frac{1}{4}$，
點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，
過焦點(diǎn)F作直線2x-y-4=0的垂線，此時d₁+d₂最小，
且d₁+d₂=$\frac{|0-\frac{1}{4}-4|}{\sqrt{4+1}}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{17\sqrt{5}}{20}$-$\frac{1}{4}$；

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的定義和簡單性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．