Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+

a

x

的圖象過點(diǎn)A（2，

5

2

）
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明之；
（3）證明函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入點(diǎn)A，解方程，即可得到a；
（2）f（x）是奇函數(shù)．由于奇偶性的定義，求出定義域，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（3）運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： （1）解：由于函數(shù)f（x）=x+

a

x

的圖象過點(diǎn)A（2，

5

2

），
則2+

a

2

=

5

2

，解得，a=1；
（2）解：f（x）是奇函數(shù)．
理由如下：f（x）=x+

1

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，有f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明：任取m，n，且0＜m＜n＜1，
f（m）-f（n）=m+

1

m

-（n+

1

n

）=（m-n）+（

1

m

-

1

n

）=

(mn-1)(m-n)

mn

，
因?yàn)?＜m＜n＜1，故mn-1＜0，m-n＜0，mn＞0，
所以f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的判斷，考查定義法解題，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．