Question

4．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E（-1，0），F(xiàn)（1，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），M、N為橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若$\overrightarrow{EM}$⊥$\overrightarrow{EN}$，試求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若A（x₁，0），B（x₂，0）為x軸上兩點(diǎn)，且x₁x₂=2，試判斷直線MA，NB的交點(diǎn)P是否在橢圓C上，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的定義及焦點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)設(shè)M（m，n），N（m，-n），利用$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)設(shè)M（m，n）、直線MA與直線NB交點(diǎn)為P（x₀，y₀），分別將點(diǎn)P代入直線MA、NB的方程，利用x₁x₂=2、m²=2-2n²，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：依定義，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)$2a=\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1）}^2}+{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}+\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}+1）}^2}+{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}$，
∴4a²=8，即a²=2，
又∵b²=a²-1=1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）解：設(shè)M（m，n），N（m，-n），
則$\overrightarrow{EM}=（m+1，n）$，$\overrightarrow{EN}=（m+1，-n）$，
∵$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，∴$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{EN}=0$，即（m+1）²-n²=0         ①
∵點(diǎn)M（m，n）在橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，
∴$\frac{m^2}{2}+{n^2}=1$                                     ②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}m=0\\ n=±1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m=-\frac{4}{3}\\ n=±\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
∴符合條件的點(diǎn)有（0，1）、（0，-1）、$（{-\frac{4}{3}，\frac{1}{3}}）$、$（{-\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}}）$；
（3）結(jié)論：直線MA與直線NB的交點(diǎn)P仍在橢圓C上．
證明如下：
設(shè)M（m，n），則直線MA的方程為：y（m-x₁）=n（x-x₁）                 ③
直線NB的方程為：y（m-x₂）=-n（x-x₂）                              ④
設(shè)直線MA與直線NB交點(diǎn)為P（x₀，y₀），將其坐標(biāo)代人③、④并整理，
得：（y₀-n）x₁=my₀-nx₀ ⑤
（y₀+n）x₂=my₀+nx₀ ⑥
⑤與⑥相乘得：$（y_0^2-{n^2}）{x_1}{x_2}={m^2}y_0^2-{n^2}x_0^2$            ⑦
又x₁x₂=2，m²=2-2n²，代入⑦化簡(jiǎn)得：$x_0^2+2y_0^2=2$，
∴直線MA與直線NB的交點(diǎn)P仍在橢圓C上．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．