Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-2mlnx-6+m，g（x）=x²-lnx
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）若對(duì)于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若m＞0且對(duì)于任意x₁∈[1，e]，任意x₂∈[1，e]，不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，注意定義域；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，求出最大值，由不等式恒成立思想解不等式即可得到m的范圍；
（3）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得f（x）在[1，e]的最大值，求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得g（x）在[1，e]的最小值，由不等式恒成立思想，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2lnx-5的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-1）（x+1）}{x}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
即有f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），f（x）的極小值為f（1）=-4，無(wú)極大值；
（2）f′（x）=2mx-$\frac{2m}{x}$=$\frac{2m（x-1）（x+1）}{x}$，x＞0，
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-6＜0恒成立；
m＞0時(shí)，x∈[1，3]，f′（x）＞0，f（x）遞增，f（3）取得最大值，且為10m-2mln3-6，
由恒成立，可得f（3）＜0即有0＜m＜$\frac{3}{5-ln3}$；
m＜0時(shí)，x∈[1，3]，f′（x）＜0，f（x）遞減，f（1）取得最大值，且為2m-6，
由恒成立，可得f（1）＜0即有m＜3，即有m＜0．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{5-ln3}$）．
（3）m＞0由（2）得f（x）在[1，e]上遞增，f（x）的最小值f（1）=2m-6，
g′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，在[1，e]上g′（x）＞0，g（x）遞增，g（x）的最大值為g（e）=e²-1．
由任意x₁∈[1，e]，任意x₂∈[1，e]，不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，
即有2m-6＞e²-1，解得m＞$\frac{{e}^{2}+5}{2}$．
即有m的取值范圍是（$\frac{{e}^{2}+5}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式恒成立思想的運(yùn)用，屬于中檔題．