Question

【題目】已知橢圓C：過點(diǎn)A（﹣1，），B（），F為橢圓C的左焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)B為直線l1：x+y+2＝0與直線l2：2x﹣y+4＝0的交點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線1與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，求△DEF面積的最大值，以及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）△DEF面積的最大值，直線l的方程．

【解析】

（Ⅰ）由橢圓所過定點(diǎn)，待定系數(shù)法列方程組能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（Ⅱ）聯(lián)立方程得出B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線過定點(diǎn)設(shè)出過B點(diǎn)的直線，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長公式、不等式性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出△DEF面積的最大值S，并能求出相應(yīng)的直線方程．

（1）∵橢圓C：＝1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（﹣1，），B（），F為橢圓C的左焦點(diǎn)．

∴，解得a2＝2，b2＝1，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1．

（Ⅱ）點(diǎn)B為直線l1：x+y+2＝0與直線l2：2x﹣y+4＝0的交點(diǎn)，

聯(lián)立，得B（﹣2，0），

設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），由題意設(shè)直線l的方程為x＝my﹣2，

代入橢圓方程得（m2+2）y2﹣4my+2＝0，

則△＝16m2﹣8（m2+2）＝8m2﹣16＞0，∴m2＞2，

，y1y2＝，

∴S△DEF＝S△BEF﹣S△BDF＝|BF||y1﹣y2|＝＝≤，

當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m2＝6（滿足△＞0）時取得等號，

∴△DEF面積的最大值S＝，

此時直線1的方程為x＝，即y＝（x+2）．