Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，證明：；

（3）若，直線與曲線相切，證明：.

（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減；(2)見(jiàn)證明；（3）見(jiàn)證明

【解析】

（1）先求得，利用當(dāng)，得的單調(diào)遞增區(qū)間，由，得的單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）分析可得0是的極小值點(diǎn)，求得a，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)分析可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則.

從而.

（3）設(shè)切點(diǎn)為,列出消掉k，得到.構(gòu)造函數(shù)，分析可得.

構(gòu)造，分析得到為增函數(shù)，可得.得到.

（1）.

當(dāng)，得，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，得，則在上單調(diào)遞減.

（2）因?yàn)?/span>，所以，則0是的極小值點(diǎn).

由（1）知，則.

設(shè)函數(shù)，則.

設(shè)函數(shù)，則.易知.

則恒成立.

令，得；令，得.

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

則.

從而，即.

（3）設(shè)切點(diǎn)為,

當(dāng)時(shí)，，

則

則.

即.

設(shè)函數(shù)，

，則為增函數(shù).

又，，

則.

設(shè)，則.

若，則，為增函數(shù).

則.又.

故.