Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2+2x+sinx+1

x2+1

的最大值為M，最小值為m，則M+m=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可先將原函數(shù)變形為f（x）=1+

2x+sinx

x2+1

，仔細(xì)分析可以看出，t=

2x+sinx

x2+1

是一個(gè)奇函數(shù)，則該函數(shù)的最大（�。┲导�1就是原函數(shù)的最大（小）值，而奇函數(shù)的最大值與最小值互為相反數(shù)，所以該題即可獲解．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

x2+2x+sinx+1

x2+1

=1+

2x+sinx

x2+1

，
令t（x）=

2x+sinx

x2+1

，∵t（-x）=

-2x+sin(-x)

(-x)2+1

=-

2x+sinx

x2+1

=-f（x）
∴t（x）是奇函數(shù)，設(shè)其最大值為M，則由奇函數(shù)的圖象可知，其最小值為-M，
∴f（x）_min=1-M，f（x）_max=1+M，
∴f（x）_min+f（x）_max=2．
故答案為2

點(diǎn)評(píng)：此題沒(méi)有按常規(guī)考查函數(shù)的最值的求法，即利用單調(diào)性，而是在將原函數(shù)變形的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察分析將原函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為一個(gè)奇函數(shù)的最大值、最小值的問(wèn)題，由奇函數(shù)的圖象可得，其最大值、最小值互為相反數(shù)，所以原函數(shù)的最值之和為2．此題有一定難度．