【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2 , a4的等差中項(xiàng). (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=anlog2an , 其前n項(xiàng)和為Sn , 若(n﹣1)2≤m(Sn﹣n﹣1)對(duì)于n≥2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的{an}首項(xiàng)為a1 , 公比為q. 由題意可知: ,
解得: 或 ,
∵數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列,
∴an=2n;
(Ⅱ)bn=anlog2an =n2n ,
∴Sn=b1+b2+…+bn=121+222+…+n2n , ①
2Sn=122+223+324+…+n2n+1 , ②
① ﹣②,得:﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1
= ﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1 ,
∴Sn=(n﹣1)2n+1+2,
若(n﹣1)2≤m(Sn﹣n﹣1)對(duì)于n≥2恒成立,
則(n﹣1)2≤m[(n﹣1)2n+1+2﹣n﹣1]=m[(n﹣1)2n+1+1﹣n]對(duì)于n≥2恒成立,
即 = 對(duì)于n≥2恒成立,
∵ = ,
∴數(shù)列{ }為遞減數(shù)列,
則當(dāng)n=2時(shí), 的最大值為 .
∴m≥ .
則實(shí)數(shù)m得取值范圍為[ ,+∞)
【解析】(Ⅰ)設(shè)出等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公比,由已知列式求得首項(xiàng)和公比,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求;(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通項(xiàng)公式代入bn=anlog2an , 利用錯(cuò)位相減法求得Sn , 代入(n﹣1)2≤m(Sn﹣n﹣1),分離變量m,由單調(diào)性求得最值得答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握①加法:②減法:③數(shù)乘:④⑤;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題.
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81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 |
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 |
A. 12 B. 33 C. 06 D. 16
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