Question

P是雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）上的一點(diǎn)，C的半焦距為c，M，N分別是圓（x+c）²+y²=（c-a）²，（x-c）²+y²=（c-a）²上的點(diǎn)，若|PM|-|PN|的最大值為4a，則C的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：由題設(shè)通過(guò)雙曲線(xiàn)的定義推出|PF₁|-|PF₂|=6，利用|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，推出|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|-|NF₂|，求出最大值．

解答： 解：雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）中，如圖

∴F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，
∴-|PN|≤-|PF₂|+|NF₂|，
所以，|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|+|NF₂|=2a+c-a+c-a=4a，
即c=2a，
所以C的離心率為2；
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，關(guān)鍵時(shí)利用雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合三角形的三邊關(guān)系得到|PM|-|PN|的線(xiàn)段表示；解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．